Pdf Contoh Soal Matematika Integral
Download File - https://bltlly.com/2tfcfc
Untuk memantapkan beberapa aturan dasar integral fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau swasta.
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\\int x^{n}\\ dx=\\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\\ n\\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:$\\begin{align}& \\int \\left (2x^{3}-9x^{2}+4x-5 \\right ) \\\\& = \\dfrac{2}{3+1}x^{3+1}-\\dfrac{9}{2+1}x^{2+1}+\\dfrac{4}{1+1}x^{1+1}-5x+C \\\\& = \\dfrac{2}{4}x^{4}-\\dfrac{9}{3}x^{3}+\\dfrac{4}{2}x^{2}-5x+C \\\\& = \\dfrac{1}{2}x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-5x+C\\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\\int x^{n}\\ dx=\\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\\ n\\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:misal:$\\begin{align}u & = x^{2}-4x+3 \\\\\\dfrac{du}{dx} & = 2x-4 \\\\\\dfrac{du}{dx} & = 2 (x-2) \\\\\\dfrac{1}{2}\\ du & = (x-2)\\ dx \\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\\int x^{n}\\ dx=\\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\\ n\\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:misal:$\\begin{align}u & = x^{2}-x+3 \\\\\\dfrac{du}{dx} & = 2x-1 \\\\du & = (2x-1)\\ dx \\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\\int x^{n}\\ dx=\\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\\ n\\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:$\\begin{align}u &= 4x+1 \\rightarrow x= \\dfrac{1}{4} \\left( u-1 \\right) \\\\du &= 4 dx \\\\\\dfrac{1}{4} du &= dx\\end{align}$Apa yang kita peroleh di atas, kita coba substituskan ke soal dan kita lakukan manipulasi aljabar;$\\begin{align}\\int \\limits x \\sqrt{4x+1}\\ dx &= \\int \\limits \\dfrac{1}{4} \\left( u-1 \\right) \\sqrt{u}\\ dx \\\\&= \\int \\limits \\dfrac{1}{4} \\left( u-1 \\right) \\cdot u^{\\frac{1}{2}}\\ \\dfrac{1}{4} du \\\\&= \\dfrac{1}{4} \\cdot \\dfrac{1}{4} \\int \\limits \\left( u^{\\frac{3}{2}}-u^{\\frac{1}{2}} \\right)\\ du \\\\&= \\dfrac{1}{4} \\cdot \\dfrac{1}{4} \\left[ \\dfrac{2}{5} u^{\\frac{5}{2}}-\\dfrac{2}{3} u^{\\frac{3}{2}} \\right] + C \\\\&= \\dfrac{1}{4} \\cdot \\left( \\dfrac{1}{10} u^{\\frac{5}{2}}-\\dfrac{1}{6} u^{\\frac{3}{2}} \\right) + C \\\\&= \\dfrac{1}{4} \\cdot \\dfrac{1}{60}u^{\\frac{3}{2}} \\left( 6 u^{1}-10 \\right) + C \\\\&= \\dfrac{1}{4} \\cdot \\dfrac{1}{60}\\left( 4x+1 \\right)^{\\frac{3}{2}} \\left( 6 \\left( 4x+1 \\right)-10 \\right) + C \\\\&= \\dfrac{1}{4} \\cdot \\dfrac{1}{60}\\left( 4x+1 \\right)^{\\frac{3}{2}} \\left( 24x+6 -10 \\right) + C \\\\&= \\dfrac{1}{4} \\cdot \\dfrac{1}{60}\\left( 4x+1 \\right)^{\\frac{3}{2}} \\left( 24x-4 \\right) + C \\\\&= \\dfrac{1}{60}\\left( 4x+1 \\right)^{\\frac{3}{2}} \\left( 6x-1 \\right) + C \\\\\\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\\int x^{n}\\ dx=\\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\\ n\\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh: $ \\begin{align}& \\int \\limits \\left ( 2x-\\dfrac{1}{2x} \\right )^{2} dx \\\\& = \\int \\limits \\left ( 4x^{2}-2+\\dfrac{1}{4x^{2}} \\right ) dx \\\\& = \\int \\limits \\left ( 4x^{2}-2+\\dfrac{1}{4}x^{-2} \\right ) dx \\\\& = \\dfrac{4}{2+1}x^{2+1}-2x+\\dfrac{\\frac{1}{4}}{-2+1}x^{-2+1} + C \\\\& = \\dfrac{4}{3}x^{3}-2x-\\dfrac{1}{4x}+C\\end{align} $
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\\int x^{n}\\ dx=\\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\\ n\\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:$ \\begin{align}f \\left( x \\right) &= \\int x^{2}\\ dx \\\\&= \\dfrac{1}{2+1}x^{2+1}+c \\\\ &= \\dfrac{1}{3}x^{3}+c \\\\\\hlinef \\left( 2 \\right) &= \\dfrac{1}{3}(2)^{3}+c \\\\-\\dfrac{19}{3} &= \\dfrac{8}{3}+c \\\\-\\dfrac{19}{3} -\\dfrac{8}{3}&= c \\\\ -\\dfrac{27}{3} &= c \\\\ -9 &= c \\\\ \\hlinef \\left( x \\right) &= \\dfrac{1}{3}x^{3}+c \\\\&= \\dfrac{1}{3}x^{3} -9\\end{align} $
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\\int x^{n}\\ dx=\\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\\ n\\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:Untuk $\\int f\\left( x \\right)\\ dx=\\dfrac{1}{4}ax^{2}+bx+c$ dapat kita tentukan $ f\\left( x \\right) =\\dfrac{1}{2}ax +b$
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\\int x^{n}\\ dx=\\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\\ n\\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh: $ \\begin{align}& \\int \\limits \\left ( \\dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \\right ) dx \\\\& = \\int \\limits \\left ( \\dfrac{-16}{x^{2}} - \\dfrac{6x^{4}}{x^{2}} \\right ) dx \\\\& = \\int \\limits \\left ( -16 x^{-2} -6x^{4-2} \\right ) dx \\\\& = \\int \\limits \\left ( -16 x^{-2} -6x^{2} \\right ) dx \\\\& = \\dfrac{-16}{-2+1} x^{-2+1} -\\dfrac{6}{2+1}x^{2+1}+C \\\\& = 16 x^{-1} -2x^{3}+C \\\\& = \\dfrac{16}{x}-2x^{3}+C\\end{align} $
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\\int x^{n}\\ dx=\\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\\ n\\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:$ \\begin{align} & \\int \\dfrac{3 \\left( 1-x \\right)}{1 + \\sqrt{x}}\\ dx \\\\&= \\int \\dfrac{3 \\left( 1-x \\right)}{1 + \\sqrt{x}}\\ \\times \\dfrac{1 - \\sqrt{x}}{1 - \\sqrt{x}}\\ dx \\\\&= \\int \\dfrac{3 \\left( 1-x \\right)\\left( 1 - \\sqrt{x} \\right)}{1 - x}\\ dx \\\\&= 3 \\int \\left( 1 - \\sqrt{x} \\right) dx \\\\&= 3 \\left( x - \\frac{2}{3} x \\sqrt{x} \\right) + C\\\\&= 3 x - 2x \\sqrt{x} + C \\end{align} $
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\\int x^{n}\\ dx=\\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\\ n\\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:$ \\begin{align} & \\int \\dfrac{x^{2}-\\sqrt{x}}{x}\\ dx \\\\&= \\int \\left( \\dfrac{x^{2}}{x}-\\dfrac{\\sqrt{x}}{x} \\right)\\ dx \\\\&= \\int \\left( x - x^{-\\frac{1}{2}} \\right)\\ dx \\\\&= \\dfrac{1}{2}x^{2} -2x^{ \\frac{1}{2}} +C \\\\&= \\dfrac{1}{2}x^{2} -2\\sqrt{x} + C\\end{align} $
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\\int x^{n}\\ dx=\\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\\ n\\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:misal:$\\begin{align} u & = x^{3}-1 \\\\\\dfrac{du}{dx} & = 3x^{2} \\\\du & = 3x^{2}\\ dx \\end{align}$ Soal di atas, kini dapat kita tuliskan menjadi;$\\begin{align}&\\int 9x^{2} \\sqrt{x^{3}-1}\\ dx \\\\& = \\int 3 \\cdot 3x^{2} \\sqrt{x^{3}-1}\\ dx \\\\& = \\int 3 \\cdot \\sqrt{x^{3}-1}\\ 3x^{2}\\ dx \\\\& = \\int 3 \\cdot \\sqrt{u}\\ du \\\\ & = 3 \\cdot \\frac{2}{3} \\cdot \\left( u \\right) \\sqrt{u}\\ +C \\\\& = 3 \\cdot \\frac{2}{3} \\cdot \\left( x^{3}-1 \\right) \\sqrt{x^{3}-1}\\ +C \\\\& = 2 \\cdot \\left( x^{3}-1 \\right) \\sqrt{x^{3}-1}\\ +C\\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\\int x^{n}\\ dx=\\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\\ n\\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh: $ \\begin{align}& \\int \\limits \\left ( \\dfrac{x^{4}-1}{x^{3}+x} \\right )^{2} dx \\\\& = \\int \\limits \\left ( \\dfrac{ \\left( x^{2}-1 \\right)\\left( x^{2}+1 \\right)}{x \\left( x^{2}+1 \\right)} \\right )^{2} dx \\\\& = \\int \\limits \\left ( \\dfrac{ \\left( x^{2}-1 \\right) }{x } \\right )^{2} dx \\\\& = \\int \\limits \\left ( \\dfrac{ x^{2} }{x }-\\dfrac{ 1 }{x } \\right )^{2} dx \\\\& = \\int \\limits \\left ( x-x^{-1} \\right )^{2} dx \\\\& = \\int \\limits \\left ( x^{2}-2+x^{-2} \\right ) dx \\\\& = \\dfrac{1}{2+1}x^{2+1}-2x+ \\dfrac{1}{-2+1}x^{-2+1} + C \\\\& = \\dfrac{1}{3}x^{3}-2x- \\dfrac{1}{x} + C \\end{align} $
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\\int x^{n}\\ dx=\\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\\ n\\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:misal:$\\begin{align} u & = 2-x^{3} \\rightarrow 2-u = x^{3}\\\\\\dfrac{du}{dx} & = -3x^{2} \\\\du & = -3x^{2}\\ dx \\rightarrow -\\dfrac{1}{3}du = x^{2}dx \\\\\\end{align}$Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;$\\begin{align}& \\int \\limits x^{5}\\left ( 2-x^{3} \\right )^{\\frac{1}{2}}\\ dx \\\\& = \\int \\limits x^{2} \\cdot x^{3} \\left ( u \\right )^{\\frac{1}{2}}\\ dx \\\\& = \\int \\limits x^{3} \\cdot u^{\\frac{1}{2}}\\ x^{2} dx \\\\& = \\int \\limits \\left ( 2-u \\right ) u^{\\frac{1}{2}}\\ \\left (-\\dfrac{1}{3}du \\right ) \\\\& = -\\dfrac{1}{3} \\int \\limits \\left ( 2u^{\\frac{1}{2}}-u^{\\frac{3}{2}} \\right ) \\ du \\\\& = -\\dfrac{1}{3} \\cdot \\left ( \\frac{4}{3}u^{\\frac{3}{2}}-\\frac{2}{5}u^{\\frac{5}{2}} \\right ) + C \\\\& =-\\dfrac{1}{3} \\cdot \\left ( \\frac{4}{3}u^{\\frac{3}{2}}-\\frac{2}{5}u^{\\frac{5}{2}} \\right ) + C \\\\& =-\\dfrac{1}{3} \\cdot \\dfrac{1}{15}u^{\\frac{3}{2}} \\left ( 20 - 6u \\right )+ C \\\\& =-\\dfrac{1}{45}\\left (2-x^{3} \\right )^{\\frac{3}{2}} \\left ( 20 - 6\\left (2-x^{3} \\right ) \\right )+ C \\\\& =-\\dfrac{1}{45}\\left (2-x^{3} \\right )^{\\frac{3}{2}} \\left ( 20 - 12+6x^{3} \\right )+ C \\\\& =-\\dfrac{1}{45}\\left (2-x^{3} \\right )^{\\frac{3}{2}} \\left ( 8+6x^{3} \\right )+ C \\\\& =-\\dfrac{2}{45}\\left (2-x^{3} \\right )^{\\frac{3}{2}} \\left ( 4+3x^{3} \\right )+ C\\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\\int x^{n}\\ dx=\\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\\ n\\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:$\\begin{align}f'(x) & =9x^{2}-12x+2 \\\\f(x ) &= \\int \\limits f'(x)\\ dx \\\\&= \\int \\limits 9x^{2}-12x+2 \\ dx \\\\&= \\dfrac{9}{2+1}x^{2+1}-\\dfrac{12}{1+1}x^{1+1}+2x + C \\\\& = 3x^{3}-6x^{2}+2x + C \\\\\\hlinef(-1) & = 3(-1)^{3}-6(-1)^{2}+2(-1) + C \\\\0 & = -3-6 -2 + C \\\\0 & = -11 + C \\\\C & =11 \\\\\\hlinef(x) & = 3x^{3}-6x^{2}+2x + 11 \\\\f(0) & = 3(0)^{3}-6(0)^{2}+2(0) + 11 \\\\& = 11\\end{align}$
Keterangan pada soal jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;Dalam penulisan integral gambar di atas kita terjemahkan kurang lebih seperti berikut ini;$ \\begin{align} & \\left \\int \\limits_{-3}^{-1}\\left ((x^2+6x)-(-x^2-2x) \\right ) dx \\right \\\\&=\\left \\int \\limits_{-3}^{-1}\\left (x^2+6x+x^2+2x \\right ) dx \\right \\\\&=\\left \\int \\limits_{-3}^{-1}\\left (2x^2+8x \\right ) dx \\right \\\\&=\\left \\left [\\dfrac{2}{3}x^3+4x^2 \\right ]_{-3}^{-1} \\right \\\\&=\\left \\left [\\dfrac{2}{3}(-1)^3+4(-1)^2 \\right ]-\\left [\\dfrac{2}{3}(-3)^3+4(-3)^2 \\right ] \\right \\\\&=\\left \\left [-\\dfrac{2}{3}+4 \\right ]-\\left [\\dfrac{-54}{3}+36 \\right ] \\right \\\\&=\\left \\left [\\dfrac{10}{3} \\right ]-\\left [-18+36 \\right ] \\right \\\\&=\\left \\dfrac{10}{3}-18 \\right \\\\&=\\left \\dfrac{10}{3}-\\dfrac{54}{3} \\right \\\\&=\\left -\\dfrac{44}{3} \\right \\\\&=\\left -14\\dfrac{2}{3} \\right \\\\ &=14\\dfrac{2}{3} \\end{align} $ 153554b96e
https://www.ebswa.org/group/academic-research/discussion/cf6336f7-62bc-4447-84d4-c98dc97654ce